Operator 1
Analysieren
Transfer
Definition: Komplexe Sachverhalte systematisch zerlegen (Struktur, Wechselwirkungen, Randbedingungen) und zielgerichtet untersuchen.
Erwartet wird:
- Merkmale/Teile identifizieren
- Zusammenhänge und Abhängigkeiten herausarbeiten
- geeignete Methoden begründen
Satzstarter:
- „Ich untersuche zunächst … …“
- „Relevant ist der Zusammenhang zwischen … …“
- „Unter der Nebenbedingung … …“
Beispiel 1 – Kurvendiskussion vollständig
Aufgabe: Analysiere f(x)=x^4−4x^2+3 auf Symmetrie, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte.
Lösungsschritte anzeigen
- Symmetrie: f(−x)=f(x) ⇒ achsensymmetrisch zur y‑Achse
- Nullstellen: x^4−4x^2+3=0 ⇒ (x^2−1)(x^2−3)=0 ⇒ x=±1, ±√3
- f'(x)=4x^3−8x=4x(x^2−2) ⇒ kritische Stellen: x=0, ±√2
- f''(x)=12x^2−8 ⇒ Wendestellen, wo f''=0: x=±√(2/3)
- Vorzeichenanalyse liefert lokale Extrema bei x=0 (lok. Max) und x=±√2 (Minima)
Beispiel 2 – Parameteranalyse
Aufgabe: Analysiere f_a(x)=x^3−3ax auf Anzahl der Extrempunkte in Abhängigkeit von a∈ℝ.
Lösungsschritte anzeigen
- f'_a(x)=3x^2−3a ⇒ Nullstellen bei x=±√a für a≥0
- Für a<0 keine reellen Nullstellen von f' ⇒ keine Extrema
- Für a=0: einfaches Sattelverhalten bei x=0
- Für a>0: zwei Extrema (ein lok. Max bei −√a, ein lok. Min bei √a)
Operator 2
Begründen
Reorganisation
Definition: Aussagen mit Sätzen/Regeln/Beispielen schlüssig stützen; Randfälle beachten.
Erwartet wird:
- geeigneten Satz nennen
- Argumentkette ohne Lücke
- Randfälle prüfen
Satzstarter:
- „Aufgrund des Zwischenwertsatzes … …“
- „Nach der Kettenregel … …“
- „Damit folgt … …“
Beispiel 1 – Konvexität begründen
Aufgabe: Begründe: f(x)=e^x ist für alle x streng konvex.
Lösungsschritte anzeigen
- f''(x)=e^x > 0 für alle x ⇒ streng konvex
Beispiel 2 – Nullstelle begründen
Aufgabe: Sei f stetig auf [a,b] und f(a)·f(b)<0. Begründe, dass eine Nullstelle existiert.
Lösungsschritte anzeigen
- Zwischenwertsatz: stetige Funktion nimmt alle Werte zwischen f(a) und f(b) an ⇒ ∃c∈(a,b): f(c)=0
Operator 3
Berechnen
Reproduktion
Definition: Zahlen-/Formelergebnisse korrekt bestimmen – mit sauberem Rechenweg und Einheiten.
Erwartet wird:
- Formelwahl begründen
- sorgfältig umformen
- Einheiten prüfen
Satzstarter:
- „Ich setze ein … …“
- „Somit ergibt sich … …“
- „Das Resultat lautet … …“
Beispiel 1 – Bestimmtes Integral
Aufgabe: Berechne ∫_0^{ln 3} e^x dx.
Lösungsschritte anzeigen
- Stammfunktion: e^x
- Einsetzen: e^{ln 3}−e^0=3−1=2
Beispiel 2 – Fläche zwischen Kurven
Aufgabe: Berechne die Fläche zwischen f(x)=x und g(x)=ln x auf [1,e].
Lösungsschritte anzeigen
- Schnittpunkte am Rand: x=1, e
- A=∫_1^e (x−ln x) dx
- Stammfunktionen: x↦x^2/2, ln x↦x ln x − x
- A=[x^2/2 − (x ln x − x)]_1^e = [(e^2/2) − (e·1 − e)] − [1/2 − (0 − 1)] = e^2/2 − e + e − 1/2 − 1/2 = e^2/2 − 1
Operator 4
Bestimmen
Reorganisation
Definition: Gesuchte Größe aus Bedingungen exakt herleiten (Parameter, Schnitt-, Extrem- oder Wendepunkte).
Erwartet wird:
- Gleichung aufstellen
- lösen
- Ergebnis prüfen/deuten
Satzstarter:
- „Wir setzen gleich … …“
- „Die Bedingung liefert … …“
- „Damit ergibt sich … …“
Beispiel 1 – Tangentengleichung
Aufgabe: Bestimme die Tangente an f(x)=ln x in x0=1.
Lösungsschritte anzeigen
- f'(x)=1/x ⇒ f'(1)=1
- f(1)=0
- Tangente: y=1·(x−1)+0 ⇒ y=x−1
Beispiel 2 – Wendepunkt
Aufgabe: Bestimme alle Wendepunkte von f(x)=x^4−4x^2.
Lösungsschritte anzeigen
- f''(x)=12x^2−8 ⇒ f''(x)=0 ⇒ x=±√(2/3)
- Wechsel des Krümmungsvorzeichens prüfen (z. B. Vorzeichenwechsel von f'')
- Punkte: (±√(2/3), f(±√(2/3)))
Operator 5
Beweisen/Zeigen
Transfer
Definition: Allgemeingültigkeit mit anerkannten Methoden zeigen (direkt, indirekt, Widerspruch, Induktion).
Erwartet wird:
- klare Struktur
- Definitionen/Sätze korrekt
- sauberer Abschluss
Satzstarter:
- „Zu zeigen ist … …“
- „Angenommen … …“
- „Damit ist bewiesen … …“
Beispiel 1 – Ungleichung (AM≥GM)
Aufgabe: Zeige: Für a,b>0 gilt (a+b)/2 ≥ √(ab).
Lösungsschritte anzeigen
- 0 ≤ (√a − √b)^2 = a + b − 2√(ab) ⇒ (a+b)/2 ≥ √(ab)
Beispiel 2 – Induktion – Potenzen
Aufgabe: Beweise: 2^{n} ≥ n+1 für n≥0.
Lösungsschritte anzeigen
- IA n=0: 1≥1 ok
- IV gelte für n
- IS: 2^{n+1}=2·2^n ≥ 2(n+1) ≥ (n+1)+1 für n≥1
Operator 6
Diskutieren
Bewertung
Definition: Vorgehen/Modelle vergleichen, Grenzen und Güte beurteilen; begründetes Fazit geben.
Erwartet wird:
- Pro/Contra
- Sensitivität/Fehlerquellen
- Fazit begründen
Satzstarter:
- „Einerseits …, andererseits … …“
- „Im Grenzfall … …“
- „Daraus folgt … …“
Beispiel 1 – Regressionsmodell wählen
Aufgabe: Diskutiere lineare vs. exponentielle Anpassung bei Messdaten (wachsend).
Lösungsschritte anzeigen
- Lineares Modell: konstante Zuwächse
- Exponentielles Modell: konstante relative Zuwächse
- Residuenanalyse & R^2 zum Vergleich; Kontext entscheidet
Beispiel 2 – Numerik vs. Analysis
Aufgabe: Diskutiere Newton-Verfahren vs. exakte Nullstellen bei Polynomen 3. Grades.
Lösungsschritte anzeigen
- Kubik: exakte Formeln vorhanden, aber unhandlich
- Newton: schnell, braucht Startwert, Konvergenz nicht garantiert
Operator 7
Erklären
Reorganisation
Definition: Ein Konzept verständlich machen (Prinzip, Regel, Idee) und am Beispiel anwenden.
Erwartet wird:
- Begriff sauber definieren
- Regel formal + in Worten
- kurzes Beispiel
Satzstarter:
- „Das Prinzip lautet … …“
- „Die Regel besagt … …“
- „Am Beispiel sieht man … …“
Beispiel 1 – Substitutionsregel
Aufgabe: Erkläre die Substitution u=g(x) am Beispiel ∫ 2x·cos(x^2) dx.
Lösungsschritte anzeigen
- u=x^2 ⇒ du=2x dx
- ∫ 2x·cos(x^2) dx = ∫ cos(u) du = sin u + C = sin(x^2)+C
Beispiel 2 – Partielle Integration
Aufgabe: Erkläre ∫ u'v = uv − ∫ uv' am Beispiel ∫ x·e^x dx.
Lösungsschritte anzeigen
- wähle u=x ⇒ u'=1; v=e^x
- ∫ x e^x dx = x e^x − ∫ 1·e^x dx = x e^x − e^x + C = (x−1)e^x + C
Operator 8
Interpretieren/Beurteilen
Bewertung
Definition: Ergebnisse im Kontext deuten; Größenordnungen, Einheiten, Modellannahmen prüfen.
Erwartet wird:
- Kontextbezug herstellen
- Plausibilität prüfen
- Grenzen des Modells nennen
Satzstarter:
- „Das bedeutet … …“
- „Unter Annahme … …“
- „Daher ist zu erwarten … …“
Beispiel 1 – Wachstum deuten
Aufgabe: Bei N(t)=N0·e^{kt} mit k=0,3: interpretiere ln N gegen t.
Lösungsschritte anzeigen
- ln N = ln N0 + k t ⇒ lineare Beziehung mit Steigung k=0,3
- Halb-/Verdopplungszeit aus Steigung ablesbar
Beispiel 2 – Ableitung 2. Ordnung
Aufgabe: Beurteile f''(x0)>0 in einem Kostenmodell.
Lösungsschritte anzeigen
- f''(x0)>0 ⇒ lokale Konvexität: Grenzkosten steigen
- Optimierung erfordert ggf. Nebenbedingungen (Kapazität, Preis)
Operator 9
Modellieren
Transfer
Definition: Aus einer Realsituation ein mathematisches Modell entwickeln, lösen und zurückübersetzen.
Erwartet wird:
- Größen/Parameter definieren
- Modellgleichungen aufstellen
- Lösung interpretieren
Satzstarter:
- „Sei x … …“
- „Dann gilt … …“
- „Im Kontext heißt das … …“
Beispiel 1 – Optimierung mit Nebenbedingung
Aufgabe: Kiste ohne Deckel aus Quadratblech s mit Einschnitten x an den Ecken: Maximale Box‑Volumen?
Lösungsschritte anzeigen
- Volumen: V(x)=(s−2x)^2·x
- Ableiten: V'(x)=2(s−2x)(−2)·x + (s−2x)^2
- Nullstellen: x = s/6 liefert Maximum (2. Ableitungstest)
- Ergebnis: x_opt=s/6
Beispiel 2 – Zinsmodell mit Einzahlungen
Aufgabe: Jährliche Einzahlung E, Zinssatz p, Laufzeit n: Endkapital?
Lösungsschritte anzeigen
- Geometrische Reihe: K_n = E·[(1+p)^n − 1]/p
- Interpretation: Sparplan mit Zinseszins
Operator 10
Untersuchen
Transfer
Definition: Gezielt Kriterien prüfen (z. B. Konvergenz, Monotonie, Scheitel, Lagebeziehungen).
Erwartet wird:
- Plan angeben
- Rechnungen dokumentieren
- Ergebnisse zusammenfassen
Satzstarter:
- „Zuerst prüfe ich … …“
- „Als Nächstes … …“
- „Abschließend … …“
Beispiel 1 – Konvergenz einer Reihe
Aufgabe: Untersuche ∑_{k=1}^∞ 1/k^2.
Lösungsschritte anzeigen
- Vergleich mit p‑Reihe p=2>1 ⇒ konvergent
- Wert = π^2/6 (Bekanntheit, kein Nachweis gefordert)
Beispiel 2 – Lagebeziehung im Raum
Aufgabe: Untersuche g: x=(1,2,−1)+t(2,0,1) und E: 2x−y+z=3.
Lösungsschritte anzeigen
- Richtungsvektor u=(2,0,1); Normalenvektor n=(2,−1,1)
- n·u = 2·2 + (−1)·0 + 1·1 = 5 ≠ 0 ⇒ g schneidet E
- Schnittpunkt durch Einsetzen bestimmen
Operator 11
Darstellen/Skizzieren
Reproduktion
Definition: Graphen, Tabellen, Vektordiagramme übersichtlich und maßhaltig darstellen.
Erwartet wird:
- Achsen und Einheiten beschriften
- markante Punkte
- Legende falls nötig
Satzstarter:
- „Ich trage ein … …“
- „Die Skizze enthält … …“
- „Zur Orientierung … …“
Beispiel 1 – Normalverteilung skizzieren
Aufgabe: Skizziere N(μ,σ²) und markiere μ±σ.
Lösungsschritte anzeigen
- Glockenkurve, Wendepunkte bei μ±σ
- Bereiche: ca. 68 % in [μ−σ, μ+σ]
Beispiel 2 – Tangente/Normalen
Aufgabe: Skizziere Tangente und Normale an f(x)=x^3 in x0=1.
Lösungsschritte anzeigen
- m_T=f'(1)=3 ⇒ Tangente: y=3(x−1)+1
- Normale: Steigung −1/3 ⇒ y=−(1/3)(x−1)+1
Operator 12
Diskutieren/Abwägen (Stochastik)
Bewertung
Definition: Modellannahmen (z. B. Unabhängigkeit, Binomialmodell) prüfen und Auswirkungen diskutieren.
Erwartet wird:
- Annahmen explizit machen
- Grenzen benennen
- Empfehlung geben
Satzstarter:
- „Unter Unabhängigkeit … …“
- „Falls p nicht konstant … …“
- „Bei kleiner Stichprobe … …“
Beispiel 1 – Binomial vs. hypergeometrisch
Aufgabe: Diskutiere, ob Ziehen ohne Zurücklegen mit Bin(n,p) modelliert werden darf.
Lösungsschritte anzeigen
- Ohne Zurücklegen: streng genommen hypergeometrisch
- Für große Grundgesamtheit approximativ Binomial
- Fehlerabschätzung abhängig von n/N
Beispiel 2 – Testentscheidungen
Aufgabe: Diskutiere α‑Fehler vs. β‑Fehler.
Lösungsschritte anzeigen
- α: H0 fälschlich verwerfen
- β: H0 fälschlich beibehalten
- Trade‑off über Teststärke/Schwelle
