Klasse 12 – 52 Übungsaufgaben

Mit schrittweiser Lösungsbegleitung. Mobile-optimiert & druckbar.

🌈 Einfache Sprache
Aufgabe 1 Kettenregel (exponentiell) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme f'(x) für f(x)=e^{3x²−2x}.
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  1. f'(x)=e^{3x²−2x}·(6x−2)
Aufgabe 2 Kettenregel (Logarithmus) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme f'(x) für f(x)=ln(5x²−x).
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  1. f'(x)=(10x−1)/(5x²−x)
Aufgabe 3 Produktregel + Kette 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme f'(x) für f(x)=(x²+1)·sin(2x).
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  1. f' = 2x·sin(2x) + (x²+1)·cos(2x)·2
  2. f'(x)=2x·sin(2x)+2(x²+1)·cos(2x)
Aufgabe 4 Quotientenregel 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme f'(x) für f(x)=(x²−1)/(x+1).
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  1. f'=[(2x)(x+1) − (x²−1)·1]/(x+1)²
  2. Zähler: 2x²+2x − x² + 1 = x²+2x+1 = (x+1)²
  3. f'(x)= (x+1)²/(x+1)² = 1 (für x≠−1)
Aufgabe 5 Implizites Ableiten 💡 Hilfe zu diesem Thema
Gegeben x² + xy + y² = 7. Bestimme dy/dx.
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  1. 2x + y + x·y' + 2y·y' = 0
  2. y'(x + 2y) = −(2x + y) ⇒ y' = −(2x + y)/(x + 2y)
Aufgabe 6 Kurvendiskussion – Extrema/Wendepunkt 💡 Hilfe zu diesem Thema
Untersuche f(x)=x&sup4−4x² auf Extrema und Wendestellen.
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  1. f'=4x³−8x=4x(x²−2) ⇒ x=0, ±√2
  2. f''=12x²−8 ⇒ f''(0)=−8<0 → lok. Max; f''(±√2)=16>0 → Minima
  3. Wendepunkte: f''=0 ⇒ x=±√(2/3)
  4. Werte: f(0)=0; f(±√2)= (4−8)=−4
Aufgabe 7 Tangente/Normale 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme Tangente und Normale an f(x)=ln x in x0=1.
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  1. f'(x)=1/x ⇒ f'(1)=1, f(1)=0
  2. Tangente: y = (x−1)
  3. Normale: Steigung −1 ⇒ y = −(x−1)
Aufgabe 8 Optimierung – Rechteck unter Kurve 💡 Hilfe zu diesem Thema
Maximiere die Fläche eines Rechtecks unter f(x)=4−x² (1. Quadrant).
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  1. A(x)=x·f(x)=x(4−x²)=−x³+4x
  2. A'(x)=−3x²+4 ⇒ 0 ⇒ x=√(4/3)
  3. Höhe: f(x)=8/3 ⇒ A_max= x·f(x)= (2/√3)·(8/3)=16/(3√3)≈3,079
Aufgabe 9 Optimierung mit Nebenbedingung (Lagrange-Idee) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Maximiere A=xy unter Nebenbedingung x+2y=20 (x,y>0).
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  1. y=(20−x)/2 ⇒ A(x)= x(20−x)/2 = 10x − x²/2
  2. A'(x)=10 − x=0 ⇒ x=10 ⇒ y=5
  3. A_max=50
Aufgabe 10 Grenzwert mit L'Hospital 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme lim_{x→0} (sin 3x)/(x).
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  1. = lim (3 cos 3x)/(1) nach L'Hospital oder Standardgrenzwert
  2. Ergebnis: 3
Aufgabe 11 Asymptoten 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme Asymptoten von f(x)= (2x²−1)/(x−1).
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  1. Polstelle bei x=1
  2. Polynomdivision: (2x²−1)/(x−1) = 2x+2 + 1/(x−1)
  3. Schiefe Asymptote: y=2x+2
Aufgabe 12 Funktionenschar – Extrempunkte 💡 Hilfe zu diesem Thema
f_a(x)=x³−3ax. Für welche a hat f_a zwei Extrema?
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  1. f'_a=3x²−3a ⇒ Nullstellen bei x=±√a für a≥0
  2. a>0: zwei Extrema; a=0: Sattel; a<0: keine Extrema
Aufgabe 13 Taylor-Approximation 2. Ordnung 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme die Taylor-Näherung 2. Ordnung von ln(1+x) um x=0.
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  1. ln(1+x) ≈ x − x²/2 (für |x|<1)
Aufgabe 14 Exponentialgleichung 💡 Hilfe zu diesem Thema
Löse: 5·3^x = 2·9^x.
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  1. 9^x=3^{2x} ⇒ 5·3^x = 2·3^{2x} ⇒ 5 = 2·3^x
  2. 3^x=5/2 ⇒ x=ln(2,5)/ln 3 ≈ 0,834
Aufgabe 15 Logarithmus – Umformen 💡 Hilfe zu diesem Thema
Vereinfache: ln(x²√x) − ln x.
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  1. ln(x^{2,5}) − ln x = 2,5 ln x − ln x = 1,5 ln x = (3/2) ln x
Aufgabe 16 Parameter – Tangente 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme a, sodass die Tangente an f(x)=x² in x=a durch (0,3) geht.
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  1. Tangente: y=2a(x−a)+a² = 2ax − a²
  2. Setze (0,3): 3 = −a² ⇒ keine reelle Lösung → unmöglich
Aufgabe 17 Unbestimmtes Integral 💡 Hilfe zu diesem Thema
Berechne ∫ (4x³ − 2x + 5) dx.
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  1. = x&sup4 − x² + 5x + C
Aufgabe 18 Bestimmtes Integral 💡 Hilfe zu diesem Thema
Berechne ∫_0² (2x+1) dx.
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  1. Stammfunktion x² + x ⇒ (4+2) − 0 = 6
Aufgabe 19 Substitution 💡 Hilfe zu diesem Thema
Berechne ∫ 2x·cos(x²) dx.
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  1. u=x² ⇒ du=2x dx ⇒ ∫ cos u du = sin u + C = sin(x²)+C
Aufgabe 20 Partielle Integration 💡 Hilfe zu diesem Thema
Berechne ∫ x·e^x dx.
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  1. = x e^x − ∫ e^x dx = (x−1)e^x + C
Aufgabe 21 Partielle Brüche 💡 Hilfe zu diesem Thema
Berechne ∫ (3x+5)/(x²−x) dx.
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  1. Zerlege: x²−x=x(x−1)
  2. (3x+5)/(x(x−1))= A/x + B/(x−1)
  3. 3x+5 = A(x−1)+Bx ⇒ (A+B)x − A
  4. Vergleich: A+B=3, −A=5 ⇒ A=−5, B=8
  5. ∫… dx = −5 ln|x| + 8 ln|x−1| + C
Aufgabe 22 Fläche zwischen Kurven 💡 Hilfe zu diesem Thema
Berechne die Fläche zwischen f(x)=x+2 und g(x)=x² auf [−1,2].
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  1. Schnittpunkte: −1 und 2
  2. A=∫_{−1}² (x+2 − x²) dx = 4,5
Aufgabe 23 Mittelwert einer Funktion 💡 Hilfe zu diesem Thema
Mittelwert von f(x)=x² auf [0,3].
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  1. (1/3)∫_0³ x² dx = (1/3)·9 = 3
Aufgabe 24 Parameter im Integral 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme a, sodass ∫_0¹ (ax + 1) dx = 2.
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  1. (a/2)·1² + 1 = 2 ⇒ a=2
Aufgabe 25 Fläche zwischen Exponential und Gerade 💡 Hilfe zu diesem Thema
Berechne A zwischen y=e^x und y=2x auf [0,1].
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  1. A=∫_0¹ (e^x−2x) dx = [e^x − x²]_0¹ = (e − 1) − (1 − 0) = e − 2
Aufgabe 26 Rotationsvolumen (x‑Achse) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme V für y=x² auf [0,2] um die x‑Achse.
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  1. V=π ∫_0² (x²)² dx = π ∫ x&sup4 dx = π [x&sup5/5]_0² = π·32/5 = 32π/5
Aufgabe 27 Bogenlänge 💡 Hilfe zu diesem Thema
Berechne die Länge von y=(1/2)x² auf [0,2].
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  1. L=∫_0² √(1+(y')²) dx, y'=x ⇒ L=∫_0² √(1+x²) dx
  2. Stammfunktion: (1/2)(x√(1+x²) + asinh x) |_0²
  3. Wert: (1/2)(2√5 + asinh 2) ≈ √5 + 0,5·asinh 2
Aufgabe 28 Differentialgleichung (einfach) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Löse y' = 2y, y(0)=3.
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  1. Trennung: dy/y = 2 dx ⇒ ln|y|=2x+C ⇒ y=Ce^{2x}
  2. C aus Bed.: 3 = C ⇒ y=3e^{2x}
Aufgabe 29 Gerade–Ebene: Schnitt 💡 Hilfe zu diesem Thema
g: x=(1,2,−1)+t(2,1,3), E: 2x − y + z = 5. Finde S.
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  1. Einsetzen: 2(1+2t) − (2+t) + (−1+3t) = 5
  2. 2+4t −2 −t −1 +3t = 5 ⇒ 6t −1 = 5 ⇒ t=1
  3. S=(3,3,2)
Aufgabe 30 Lage Gerade–Gerade 💡 Hilfe zu diesem Thema
g: x=(1,0,2)+s(1,1,0); h: x=(0,1,1)+t(2,−2,1).
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  1. Richtungen nicht proportional ⇒ nicht parallel
  2. Gleichsetzen liefert Widerspruch ⇒ windschief
Aufgabe 31 Abstand Punkt–Gerade 💡 Hilfe zu diesem Thema
Abstand P(2,1,0) zu g: x=t(1,2,2).
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  1. d=|((P−A)×u)|/|u|, A=(0,0,0), u=(1,2,2)
  2. (2,1,0)×(1,2,2)=(2,−4,3) ⇒ d=√29/3
Aufgabe 32 Abstand Punkt–Ebene 💡 Hilfe zu diesem Thema
Abstand P(3,−1,2) zu E: 2x−y+2z−7=0.
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  1. d=|2·3 − (−1) + 2·2 − 7|/√(4+1+4)=4/3
Aufgabe 33 Winkel zwischen Vektoren 💡 Hilfe zu diesem Thema
a=(2,−1,2), b=(1,2,2). Bestimme den Winkel.
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  1. cos φ = (a·b)/(|a||b|)=4/9 ⇒ φ≈63,61°
Aufgabe 34 Winkel Geraden 💡 Hilfe zu diesem Thema
g: u=(1,1,1), h: v=(1,−1,1). Bestimme den Winkel.
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  1. cos φ = (u·v)/(|u||v|) = 1/3 ⇒ φ≈70,53°
Aufgabe 35 Ebenengleichung (Koordinatenform) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Normalenvektor n=(2,−1,1), Punkt P0(1,2,3).
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  1. n·(x−P0)=0 ⇒ 2x − y + z − 3 = 0
Aufgabe 36 Volumen Tetraeder 💡 Hilfe zu diesem Thema
A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,2,0), D(0,0,3).
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  1. V=|det(AB,AC,AD)|/6 = 6/6=1
Aufgabe 37 Spurpunkte einer Ebene 💡 Hilfe zu diesem Thema
E: 2x−y+z=6. Bestimme Achsenschnitte.
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  1. (3,0,0), (0,−6,0), (0,0,6)
Aufgabe 38 Koordinatenform aus drei Punkten 💡 Hilfe zu diesem Thema
Durch A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).
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  1. AB=(−1,2,0), AC=(−1,0,3); n=AB×AC=(6,3,2)
  2. E: 6x+3y+2z=6
Aufgabe 39 Linearkombination & Rang (2×2) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Sind v1=(2,1), v2=(4,2) linear unabhängig?
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  1. v2=2·v1 ⇒ linear abhängig; Rang=1
Aufgabe 40 Skalarprodukt – Projektion 💡 Hilfe zu diesem Thema
Projiziere a=(3,4) auf b=(1,0).
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  1. proj_b(a) = ((a·b)/|b|²)·b = (3/1)·(1,0)=(3,0)
Aufgabe 41 Sinusfunktion – Parameter 💡 Hilfe zu diesem Thema
f(x)=A·sin(ωx+φ)+d mit A=2, ω=3, φ=−π/2, d=1. Nenne Amplitude, Periode, Verschiebungen.
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  1. Amplitude 2; Periode T=2π/ω=2π/3
  2. Phasenverschiebung nach rechts um π/(2·3)=π/6; Verschiebung nach oben 1
Aufgabe 42 Sinusgleichung 💡 Hilfe zu diesem Thema
Löse auf [0,2π]: 2·sin x = √3.
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  1. sin x=√3/2 ⇒ x=π/3, 2π/3
Aufgabe 43 Cosinussatz 💡 Hilfe zu diesem Thema
In ΔABC: a=8, b=6, γ=60°. Bestimme c.
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  1. c²=64+36−96·0,5=52 ⇒ c=√52≈7,21
Aufgabe 44 Kreissektor 💡 Hilfe zu diesem Thema
Kreissektor r=10 cm, Winkel 72°. Fläche?
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  1. Anteil 1/5 ⇒ A=20π≈62,83 cm²
Aufgabe 45 Binomialverteilung – Einzelwahrscheinlichkeit 💡 Hilfe zu diesem Thema
n=12, p=0,3. P(X=4)?
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  1. P=C(12,4)·0,3&sup4·0,7&sup8
  2. C(12,4)=495 ⇒ P≈ 0,236
Aufgabe 46 Binomial – Mindestens 💡 Hilfe zu diesem Thema
n=10, p=0,6. P(X≥7)?
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  1. P = P(7)+P(8)+P(9)+P(10) (mit Formel)
  2. ≈ 0,215 + 0,121 + 0,040 + 0,006 ≈ 0,382 (gerundet)
Aufgabe 47 Erwartungswert & Varianz 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bei X~Bin(n,p): gib E(X) und Var(X) an.
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  1. E(X)=np, Var(X)=np(1−p)
Aufgabe 48 Hypergeometrisch 💡 Hilfe zu diesem Thema
Urne: 7 rot, 5 blau. Zwei Ziehungen ohne Zurücklegen. P(beide rot)?
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  1. P= (7/12)·(6/11)=42/132≈0,318
Aufgabe 49 Normalverteilung – Standardisierung 💡 Hilfe zu diesem Thema
X~N(μ=100, σ=15). Berechne P(X≤115).
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  1. z=(115−100)/15=1
  2. P(Z≤1)≈0,8413 (Tabelle)
Aufgabe 50 Normalverteilung – Bereich 💡 Hilfe zu diesem Thema
X~N(0,1). P(−1≤X≤1)?
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  1. ≈ 0,682 (68‑95‑99,7‑Regel)
Aufgabe 51 Konfidenzintervall (Mittelwert, σ bekannt) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Stichprobe n=36, Mittel 𝑥̄=10, σ=3. 95 %-KI für μ?
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  1. Standardfehler σ/√n=3/6=0,5
  2. z_{0,975}=1,96 ⇒ KI: 10 ± 1,96·0,5 ⇒ [9,02; 10,98]
Aufgabe 52 Hypothesentest (einseitig, z‑Test) 💡 Hilfe zu diesem Thema
H0: μ=100 gegen H1: μ>100; n=25, 𝑥̄=106, σ=10, α=5 %.
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  1. z=(106−100)/(10/5)=3,0
  2. kritischer Wert z_{0,95}=1,645 ⇒ 3>1,645 → H0 verwerfen